א. תהי \(f(x)\) פונקציה גזירה בקטע \([0,1]\), כאשר מתקיים \(|f'(x)| \leq 8\) לכל \(x \in [0,1]\) וכן \(\int_0^1 f(x)dx = 0\). הוכיחו כי \(|\int_0^x f(t)dt| \leq 1\) לכל \(x \in [0,1]\). הדרכה: מספיק להוכיח כי אי-השוויון המבוקש מתקיים בנקודות קיצון של הפונקציה \(G(x) = \int_0^x f(t)dt\).
ב. נגדיר את הפונקציה \(f(x)\) באופן הבא: \(f(x) = \begin{cases} -\sin x & 0 \le x \le 1 \\ 1/x & 1 < x < e \\ \lfloor 1/x^2 \rfloor & e \le x \le e^2 \end{cases}\) (תזכורת: \(\lfloor a \rfloor\) הוא החלק השלם של \(a\)). חשבו את האינטגרל \(\int_0^{e^2} f(x)dx\).