- הגשות
- פתרונות
- פתרון רשמי
- תיאור
שאלה 2 (25 נקודות)
חלק ראשון
הוראות: ענו על שלוש שאלות בלבד מבין השאלות 1-4.
א. (10 נק')
הוכיחו את משפט 7.9 :
אם \(f\) גזירה ב \(x_0\) אז \(f\) רציפה ב \(x_0\).
ב. (15 נק')
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה \(f(x) = \frac{\sin \frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}\) רציפה במידה שווה בקטע \((0, \infty)\).
לסעיף א', השתמשו בהגדרת הנגזרת כדי להראות ש-\(f(x)\) שואף ל-\(f(x_0)\). לסעיף ב', כדי לקבוע רציפות במידה שווה בקטע \((0, \infty)\), בדקו את התנהגות הפונקציה בקצוות. חשבו את הגבולות \(\lim_{x\to0^+} f(x)\) ו-\(\lim_{x\to\infty} f(x)\). אם שני הגבולות קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במידה שווה.