שאלה 3 (35 נקודות)

תהי \(f\) מוגדרת ב-\(R\).

(1) הוכיחו שאם \(f\) רציפה במידה שווה ב-\(R\), אז לכל שתי סדרות \((x_n), (y_n)\) המקיימות \(\lim_{n \to \infty}(y_n - x_n) = 0\) מתקיים \(\lim_{n \to \infty}(f(y_n) - f(x_n)) = 0\).

(2) הוכיחו שאם לכל שתי סדרות \((x_n), (y_n)\) המקיימות \(\lim_{n \to \infty}(y_n - x_n) = 0\) מתקיים \(\lim_{n \to \infty}(f(y_n) - f(x_n)) = 0\), אז \(f\) רציפה במידה שווה ב-\(R\). רמז: הוכחת משפט קנטור.