שאלה 3 (25 נקודות)

תהי \((a_n)\) סדרה הנתונה ע״י: \(a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{3}{a_n} + 1\).

(1) הוכיחו שהסדרה \((a_n)\) מוגדרת היטב, כלומר לכל \(n\) קיים \(a_n\).
הדרכה: הוכיחו באינדוקציה שלכל \(n\) טבעי, \(a_n\) מוגדר ו-\(a_n > 0\).

(2) הוכיחו (מומלץ לא באינדוקציה!) שלכל \(n\) מתקיים \(a_{n+2} = 4 - \frac{9}{3+a_n}\).

(3) נסמן \(x_n = a_{2n-1}, y_n = a_{2n}\). הוכיחו שהסדרות \((x_n), (y_n)\) מתכנסות.

(4) מצאו אם הסדרה \((a_n)\) מתכנסת או מתבדרת. במידה והיא מתכנסת, הוכיחו זאת וחשבו את גבולה. במידה והיא מתבדרת, הוכיחו זאת ומצאו את קבוצת כל הגבולות החלקיים שלה.

הערה: בכל סעיף מותר לכם להשתמש בסעיפים שקדמו לו, גם אם לא הוכחתם אותם. (הסעיפים אינם שווי משקל)