כיף קוד - התכנסות סדרה באמצעות תתי סדרות

תהי \((a_n)\) סדרה הנתונה ע"י:
\(a_1 = 1, \quad a_{n+1} = a_n + \frac{(-1)^n}{n+1}\)

(1) נסמן \(y_n = a_{2n}\) , \(x_n = a_{2n-1}\). הוכיחו שלכל \(n\) מתקיים \(y_n < x_n\).

(2) הוכיחו (מומלץ לא באינדוקציה!) שלכל \(n\) מתקיים
\(a_{n+2} = a_n + \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)}\)

(3) הוכיחו שהסדרות \((x_n), (y_n)\) מתכנסות.
הדרכה: מצאו נוסחאות נסיגה לסדרות \((x_n), (y_n)\) והיעזרו בסעיף (1).

(4) הוכיחו כי הסדרה \((a_n)\) מתכנסת.

הערה: בכל סעיף מותר לכם להשתמש בסעיפים שקדמו לו, גם אם לא הוכחתם אותם.

הראו כי תת-הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים עולה, ותת-הסדרה של האיברים במקומות האי-זוגיים יורדת. לאחר מכן, הראו כי הן חסומות ומתכנסות לאותו גבול.