שאלה 3 (25 נקודות)
(1) הוכיחו שלכל \(0 < x < \frac{\pi}{2}\) מתקיים \(\sin x < x\).
הערה: יש להוכיח ע״י חקירת פונקציית הפרש מתאימה.
אין להוכיח כמו הוכחת טענה 4.44 או משפט 4.45 או להסתמך עליהם.
(2) תהי \((x_n)\) סדרה הנתונה ע״י \(x_{n+1} = \sin x_n\), \(0 < x_1 < \pi\). הוכיחו כי \((x_n)\) מתכנסת.
(3) חשבו את \(\lim_{n\to\infty} x_n\).
(4) חשבו את \(\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}\).
(הסעיפים אינם שווי משקל)

לחלק (1), הגדירו פונקציית הפרש \(f(x) = x - \sin x\) וחקרו את נגזרתה בתחום הנתון. \nלחלק (2), הראו תחילה כי החל ממקום מסוים (למשל, עבור \(n \ge 2\)) איברי הסדרה נמצאים בתחום \((0, \frac{\pi}{2})\). לאחר מכן, השתמשו בתוצאה של חלק (1) כדי להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת. הראו גם שהסדרה חסומה מלמטה. \nלחלק (3), אם \(L\) הוא גבול הסדרה, אז \(L = \sin L\). פתרו משוואה זו תוך התחשבות בתחום בו נמצאים איברי הסדרה (והגבול). \nלחלק (4), השתמשו בגבול הידוע \(\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1\) ובעובדה ש-\(x_n \to 0\).