שאלה 1 (25 נקודות)
הוכיחו את הלמה של קנטור (משפט 3.22) :
תהי \((I_n)_{n=1}^\infty\) סדרה יורדת של קטעים סגורים \(I_n = [a_n, b_n]\), המקיימת את התנאים :
(1) כל קטע מכיל את הקטע הבא אחריו: \(I_{n+1} \subseteq I_n\).
(2) אורך הקטע \(I_n\) שואף לאפס: \(\lim_{n\to\infty} (b_n - a_n) = 0\).
אז קיימת נקודה אחת ויחידה \(x\), המשותפת לכל הקטעים, כלומר \(\bigcap_{n=1}^\infty I_n = \{x\}\).
והנקודה \(x\) נתונה ע״י הנוסחאות \(x = \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n\).