- הגשות
- פתרונות
- פתרון רשמי
- תיאור
שאלה 3 (25 נקודות)
(1) הוכיחו שלכל \(x > 0\) מתקיים \(\arctan x < x\).
(2) תהי \((x_n)\) סדרה הנתונה ע"י \(x_1 > 0\), \(x_{n+1} = \arctan x_n\). הוכיחו כי \((x_n)\) מתכנסת.
(3) חשבו את \(\lim_{n\to\infty} x_n\).
(4) חשבו את \(\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}\).
(הסעיפים אינם שווי משקל)
For (1), analyze \(f(x) = x - \arctan x\) or use MVT. For (2), show the sequence is monotonic and bounded. For (3), use the continuity of \(\arctan\). For (4), recall the behavior of \(\arctan x\) near 0.