שאלה 3 (25 נקודות) (1) עבור כל \(x \in [0, \infty)\), חשבו את \(\lim_{n \to \infty} e^{\frac{nx}{1+n^2x^2}}\). הערה: מדובר בגבול של סדרה. \(x\) מופיע בה כמספר קבוע (פרמטר). התוצאה יכולה להיות תלויה ב \(x\). (2) נסמן \(f_n(x) = e^{\frac{nx}{1+n^2x^2}}\) בקטע \([0, \infty)\), כאשר \(n \in \mathbb{N}\). הערה: זו פונקציה בקטע \([0, \infty)\). \(n\) מופיע בה כמספר קבוע (פרמטר). חשבו את \(\sup f_n([0, \infty))\). הערה: התוצאה היא מספר שיכול להיות תלוי ב \(n\). רמז: חקרו את הפונקציה \(f_n(x)\) בקטע \([0, \infty)\), מצאו את \(\max f_n([0, \infty))\). (3) נסמן \(s_n = \sup f_n([0, \infty))\) (תוצאת הסעיף הקודם). הערה: \((s_n)\) זו סדרה. הוכיחו או הפריכו: \(\lim_{n \to \infty} s_n = 1\). (הסעיפים אינם שווי משקל)