שאלה 3 (25 נקודות)

תהי \((a_n)\) סדרה הנתונה ע״י: \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = a_n + \frac{(-1)^n}{n+1}\).

(1) נסמן \(x_n = a_{2n-1}\), \(y_n = a_{2n}\). הוכיחו שלכל \(n\) מתקיים \(y_n < x_n\).

(2) הוכיחו (מומלץ לא באינדוקציה!) שלכל \(n\) מתקיים \(a_{n+2} = a_n + \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)}\).

(3) הוכיחו שהסדרות \((x_n), (y_n)\) מתכנסות.

(4) הוכיחו כי הסדרה \((a_n)\) מתכנסת.

הערה: בכל סעיף מותר לכם להשתמש בסעיפים שקדמו לו, גם אם לא הוכחתם אותם. (הסעיפים אינם שווי משקל)