- הגשות
- פתרונות
- פתרון רשמי
- תיאור
שאלה 4 (25 נקודות)
א. (10 נק')
הוכיחו/הפריכו :
יהיו \((a_n), (b_n)\) סדרות כך שמתקיים \(\lim_{n \to \infty} a_n b_n = \infty\) וכמעט לכל \(n\) מתקיים \(1 < b_n < a_n\).
אז \(\lim_{n \to \infty} a_n = \infty\) או \(\lim_{n \to \infty} b_n = \infty\).
ב. (15 נק')
הוכיחו או הפריכו :
הפונקציה \(f(x) = \frac{\sin(x^2)}{x}\) חסומה בקטע \((0, \infty)\).
סעיף א: הנח בשלילה שהמסקנה אינה נכונה, כלומר, אף אחת מהסדרות \(a_n\) או \(b_n\) אינה שואפת לאינסוף. בהתחשב בכך ש-\(a_n > b_n > 1\), מה ניתן לומר על קיום תת-סדרות חסומות של \(a_n\) ושל \(b_n\) המתאימה לה? כיצד זה מתקשר לנתון ש-\(a_n b_n \to \infty\)?
סעיף ב: נתחו את התנהגות הפונקציה \(f(x)\) כאשר \(x \to 0^+\) וכאשר \(x \to \infty\). לאחר מכן, בדקו את התנהגות הפונקציה בקטע סגור וחסום כלשהו ביניהם.