- הגשות
- פתרונות
- פתרון רשמי
- תיאור
חלק שני
שאלות 5-9 – חובה. ענו על כל חמש השאלות.
בכל אחת מהשאלות יש טענה נכונה אחת בדיוק. סמנו את הטענה הנכונה בעמוד האחרון של מחברת הבחינה במקום המיועד לכך.
לא נדרש נימוק – רק סימון במחברת מהי התשובה הנכונה.
שאלה 5 (5 נקודות)
הגבול \(\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{\sin^2 x}}\) הוא
- א. 0
- ב. 1
- ג. \(\frac{1}{e^2}\)
- ד. \(\frac{1}{\sqrt{e}}\)
- ה. אף אחת מהתשובות הנ"ל אינה נכונה.
שאלה 6 (5 נקודות)
תהי \((a_n)\) סדרה המקיימת \(\lim_{n \to \infty} a_n = \infty\), אז קיים \(M>0\) כך ש \(a_{n+1} > M a_n\) כמעט לכל \(n\).
- א. הטענה נכונה.
- ב. הטענה אינה נכונה.
שאלה 7 (5 נקודות)
תהי \((a_n)\) הסדרה שאיבריה הם: \(0, 1, 0, 2, 2, 0, 3, 3, 3, 0, 4, 4, 4, 4, \dots\). אז:
- א. \((a_n)\) מתכנסת במובן הרחב.
- ב. \(\lim_{n \to \infty} a_n = \sup\{a_n | n \in \mathbb{N}\}\)
- ג. כל מספר טבעי הוא גבול חלקי של \((a_n)\).
- ד. כל גבול חלקי של \((a_n)\) הוא חיובי.
- ה. כל הטענות הנ"ל אינן נכונות.
שאלה 8 (5 נקודות)
לכל \(x > 0\) מתקיים \(\frac{x}{e^2} + 1 \ge \ln x\).
- א. הטענה נכונה.
- ב. הטענה אינה נכונה.
שאלה 9 (5 נקודות)
תהיינה \(f, g\) שתי פונקציות רציפות ב \(x_0\) ומקיימות \(f(x_0) = g(x_0) = 0\).
-
אם \(f\) גזירה ב \(x_0\) ו \(g\) אינה גזירה ב \(x_0\) אז \(f \cdot g\) אינה גזירה ב \(x_0\).
-
אם \(f \cdot g\) גזירה ב \(x_0\) ומתקיים \((f \cdot g)'(x_0) = 0\) אז \(f\) גזירה ב \(x_0\) ומתקיים \(f'(x_0) = 0\) או \(g\) גזירה ב \(x_0\) ומתקיים \(g'(x_0) = 0\).
הטענות הנכונות הן:
- א. 1
- ב. 2
- ג. 1,2
- ד. אף טענה אינה נכונה
השתמשו בכלל \(e\) בחזקת \(\ln\) כדי לשנות את צורת הביטוי, ולאחר מכן השתמשו בכלל לופיטל על המעריך.