חלק שני

שאלות 5-9 – חובה. ענו על כל חמש השאלות.

בכל אחת מהשאלות יש טענה נכונה אחת בדיוק. סמנו את הטענה הנכונה בעמוד האחרון של מחברת הבחינה במקום המיועד לכך.

לא נדרש נימוק – רק סימון במחברת מהי התשובה הנכונה.


שאלה 5 (5 נקודות)

הגבול \(\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{\sin^2 x}}\) הוא

  • א. 0
  • ב. 1
  • ג. \(\frac{1}{e^2}\)
  • ד. \(\frac{1}{\sqrt{e}}\)
  • ה. אף אחת מהתשובות הנ"ל אינה נכונה.

שאלה 6 (5 נקודות)

תהי \((a_n)\) סדרה המקיימת \(\lim_{n \to \infty} a_n = \infty\), אז קיים \(M>0\) כך ש \(a_{n+1} > M a_n\) כמעט לכל \(n\).

  • א. הטענה נכונה.
  • ב. הטענה אינה נכונה.

שאלה 7 (5 נקודות)

תהי \((a_n)\) הסדרה שאיבריה הם: \(0, 1, 0, 2, 2, 0, 3, 3, 3, 0, 4, 4, 4, 4, \dots\). אז:

  • א. \((a_n)\) מתכנסת במובן הרחב.
  • ב. \(\lim_{n \to \infty} a_n = \sup\{a_n | n \in \mathbb{N}\}\)
  • ג. כל מספר טבעי הוא גבול חלקי של \((a_n)\).
  • ד. כל גבול חלקי של \((a_n)\) הוא חיובי.
  • ה. כל הטענות הנ"ל אינן נכונות.

שאלה 8 (5 נקודות)

לכל \(x > 0\) מתקיים \(\frac{x}{e^2} + 1 \ge \ln x\).

  • א. הטענה נכונה.
  • ב. הטענה אינה נכונה.

שאלה 9 (5 נקודות)

תהיינה \(f, g\) שתי פונקציות רציפות ב \(x_0\) ומקיימות \(f(x_0) = g(x_0) = 0\).

  1. אם \(f\) גזירה ב \(x_0\) ו \(g\) אינה גזירה ב \(x_0\) אז \(f \cdot g\) אינה גזירה ב \(x_0\).

  2. אם \(f \cdot g\) גזירה ב \(x_0\) ומתקיים \((f \cdot g)'(x_0) = 0\) אז \(f\) גזירה ב \(x_0\) ומתקיים \(f'(x_0) = 0\) או \(g\) גזירה ב \(x_0\) ומתקיים \(g'(x_0) = 0\).

הטענות הנכונות הן:

  • א. 1
  • ב. 2
  • ג. 1,2
  • ד. אף טענה אינה נכונה

השתמשו בכלל \(e\) בחזקת \(\ln\) כדי לשנות את צורת הביטוי, ולאחר מכן השתמשו בכלל לופיטל על המעריך.