שאלה 4 (25 נקודות)
א. (10 נק')
הוכיחו/הפריכו :
יהיו \((a_n), (b_n)\) סדרות כך שמתקיים \(\lim_{n\to\infty} a_n b_n = 0\) וכמעט לכל \(n\) מתקיים \(a_n > 0, b_n > 0\).
אז \(\lim_{n\to\infty} a_n = 0\) או \(\lim_{n\to\infty} b_n = 0\).
ב. (15 נק')
תהי \(f\) פונקציה רציפה בקטע \([0, \infty)\) וגזירה בקטע \((0, \infty)\).
הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות :
(1) אם קיים קבוע \(c > 0\) כך שלכל \(x > 0\) מתקיים \(f'(x) \ge c\), אז \(\lim_{x\to\infty} f(x) = \infty\).
(2) אם לכל \(x > 0\) מתקיים \(f'(x) > 0\), אז \(\lim_{x\to\infty} f(x) = \infty\).

א: בניית סדרות עם גבולות חלקיים שונים אך מכפלתן שואפת לאפס. ב1: שימוש במשפט הערך הממוצע של לגראנז'. ב2: דוגמה נגדית של פונקציה עולה וחסומה.