logo

שאלה 2 (25 נקודות) א. (10 נק') הוכיחו את משפט 7.9: אם \(f\) גזירה ב \(x_0\) אז \(f\) רציפה ב \(x_0\). ב. (15 נק') הוכיחו שהפונקציה \(f(x) = x \tan x\) מקבלת בקטע \((0, \infty)\) כל ערך חיובי אינסוף פעמים. כלומר יש להוכיח שלכל \(y > 0\), למשוואה \(f(x) = y\) יש אינסוף פתרונות בקטע \((0, \infty)\). הערה: ידוע שלכל \(k\) שלם, \(\lim_{x \to (\pi k + \frac{1}{2}\pi)^-} \tan x = \infty\).

לחלק א': השתמשו בהגדרת הנגזרת ובזהות \(f(x) - f(x_0) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x - x_0)\) (עבור \(x \neq x_0\)) כדי להראות ש- \(\lim_{x \to x_0} (f(x) - f(x_0)) = 0\). לחלק ב': התבוננו בפונקציה \(f(x) = x \tan x\) בקטעים מהצורה \(I_k = (k\pi, k\pi + \pi/2)\) עבור \(k \ge 0\) שלם. הראו שבכל קטע כזה הפונקציה רציפה ומקבלת כל ערך בין \(0\) ל-\(\infty\), והשתמשו במשפט ערך הביניים.