- הגשות
- פתרונות
- פתרון רשמי
- תיאור
שאלה 3 (25 נקודות)
(1) הוכיחו שלכל \(x > 0\) מתקיים \(1 - e^{-x} < x\).
(2) תהי \((x_n)\) סדרה הנתונה ע"י \(x_1 > 0 , x_{n+1} = 1 - e^{-x_n}\). הוכיחו כי \((x_n)\) מתכנסת.
(3) חשבו את \(\lim_{n \to \infty} x_n\).
(4) חשבו את \(\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}\).
(הסעיפים אינם שווי משקל)
For part (1), consider analyzing the function \(f(x) = x - (1 - e^{-x})\) or use the Mean Value Theorem. For part (2), use the result from (1) to establish monotonicity, and show the sequence is bounded. For part (3), if the limit \(L\) exists, it must be a solution to \(L = 1 - e^{-L}\). For part (4), consider using L'Hopital's rule or a Taylor expansion for \(e^{-u}\) around \(u=0\), as \(x_n \to 0\).