שאלה 5 (22 נקודות)

א. (10 נק')
הוכיחו את אי שוויון ברנולי (טענה 1.43):
לכל \(x \in \mathbb{R}\) המקיים \(x \ge -1\), ולכל מספר טבעי \(n\), מתקיים: \((1+x)^n \ge 1+nx\).

ב. (12 נק')
תהי \(f(x) = \begin{cases} 3-2\cos x & x < 0 \\ a & x=0 \\ 1+x^2 & x > 0 \end{cases}\).

(1) מצאו ערך של \(a\) עבורו \(f\) רציפה ב \(x=0\) (יש להוכיח שעבור \(a\) שבחרתם \(f\) רציפה ב \(x=0\)).
(2) הוכיחו שעבור \(a\) שמצאתם בסעיף (1), \(f\) גזירה ב \(\mathbb{R}\) ונגזרתה \(f'\) רציפה ב \(\mathbb{R}\).