שאלה 2 (25 נקודות)
א. (10 נק')
הוכיחו את משפט הסנדוויץ' (משפט 2.32) :
תהיינה \((a_n)\), \((b_n)\) ו \((c_n)\) סדרות עבורן מתקיימים התנאים הבאים :
לכל \(n\) מתקיים \(a_n \le b_n \le c_n\) ; הסדרות \((a_n)\) ו \((c_n)\) מתכנסות ; ו \(\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n\).
אז גם הסדרה \((b_n)\) מתכנסת, ומתקיים \(\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} c_n\).
ב. (15 נק')
תהי \(f\) פונקציה רציפה ב \(\mathbb{R}\) המקיימת \(|f(x)| \ge e^x\) לכל \(x \in \mathbb{R}\).
הוכיחו כי \(\lim_{x\to\infty} f(x) = \infty\) או \(\lim_{x\to\infty} f(x) = -\infty\).
הדרכה: תחילה הוכיחו כי \(f\) חיובית ב \(\mathbb{R}\) או \(f\) שלילית ב \(\mathbb{R}\), ואז טפלו בשני מקרים אלה.